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9.调和函数

chanra1n6年前 (2019-12-26)复变和积分变换7009

调和函数:如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称二元函数f(x,y)为区域Ω中的调和函数。


首先需要说明什么是连续

eg:

1/x    ->x不能取0

lnx    ->x需要大于0

这些有不能取的值的就是不连续函数


调和函数首先需要满足其关于x,y的二阶偏导均为连续

u(x,y)=x2+xy3

u'x=2x+y3

u'y=3xy2


u'x'x=2         ->连续

u'y'y=6xy     ->连续

u'x'y=3y2     ->连续

u'y'x=3y2     ->连续


其次,需要满足 u'x'x+u'y'y=0

u'x'x+u'y'y≠0    ->不符合条件,故而该函数不是调和函数


eg:

u(x,y)=x3-6x2y-3xy2+2y3

证明调和函数,需要经过2次判断

1、证明其二阶偏导数连续

u'x=3x2-12yx-3y2

u'y=-6x2-6xy+6y2


u'x'x=6x-12y

u'x'y=6x-12y

u'y'y=-6x+12y

u'y'x=-12x-6y

2、如果u'x'x+u'y'y=0,则函数为调和函数

u'x'x+u'y'y=6x-12y-6x+12y=0    ->该函数为调和函数


共轭调和函数的计算

v(x,y)=∫u'xdy+∫[-u'y-(∫u'xdy)'x]dx+C


已知调和函数和共轭调和函数,->解析函数

①    计算f(x)=u(x,0)+iv(x,0)

②    将①中的x换成z

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